Je-li A matice m × n, pak ATA a AAT mají stejná nenulová vlastní čísla … Proto je Ax vlastním vektorem AAT odpovídající vlastnímu číslu λ. Analogický argument lze použít k prokázání, že každá nenulová vlastní hodnota AAT je vlastní hodnotou ATA, čímž je důkaz dokončen.
Jsou vlastní hodnoty AAT a ATA stejné?
Matice AAT a ATA mají stejné nenulové vlastní hodnoty. Část 6.5 ukázala, že vlastní vektory těchto symetrických matic jsou ortogonální.
Je ATA totéž jako AAT?
Protože AAT a ATA jsou skutečně symetrické, lze je diagonalizovat pomocí ortogonálních matic. Z předchozího tvrzení vyplývá (protože geometrické a algebraické násobnosti se shodují), že AAT a ATA mají stejné vlastní hodnoty.
Má ATA odlišné vlastní hodnoty?
Pravda. Pokud například A= 1 2 3 2 4 −1 3 −1 5 , pak charakteristická rovnice det(A − λI)=−25 − 15λ + 10λ2 − λ3=0 nemá opakovaný kořen. Proto všechny vlastní hodnoty A jsou odlišné a A je diagonalizovatelné. 3.35 Pro jakoukoli reálnou matici A je AtA vždy diagonalizovatelné.
Mohou mít různé vlastní vektory stejnou vlastní hodnotu?
Dva odlišné vlastní vektory odpovídající stejnému Vlastní hodnota je vždy lineárně závislá. Dva odlišné vlastní vektory odpovídající stejné vlastní hodnotě jsou vždy lineárně závislé.
