Neformálně je skupina cyklická pokud je generována jedním prvkem. Je abelovské, pokud násobení dojíždí. Skupina je cyklická, pokud ji může generovat jeden prvek.
Je abelovská skupina cyklická?
Všechny cyklické skupiny jsou abelovské, ale abelovská skupina nemusí být nutně cyklická. Všechny podskupiny abelovské skupiny jsou normální. V Abelovské skupině je každý prvek v konjugační třídě sám o sobě a tabulka znaků zahrnuje síly jednoho prvku známého jako generátor skupin.
Jak dokážete, že abelovská skupina je cyklická?
Proof
- Nechť G je cyklická grupa s generátorem g∈G. Konkrétně máme G=⟨g⟩ (každý prvek v G je nějaká mocnina g.)
- Nechť aab jsou libovolné prvky v G. Pak existuje n, m∈Z takových, že a=gn ab=gm.
- Dostáváme tedy ab=ba pro libovolné a, b∈G. G je tedy abelovská skupina.
Jak poznáte, že je skupina cyklická?
4 odpovědi. Konečná grupa je cyklická tehdy a pouze tehdy, když má právě jednu podgrupu každého dělitele svého řádu. Pokud tedy najdete dvě podskupiny stejného řádu, pak skupina není cyklická a to může někdy pomoci.
Co je cyklická skupina vysvětlit na příkladu?
Například (Z/6Z)×={1, 5} , a protože 6 je dvakrát liché prvočíslo, toto je cyklická skupina. … Když je (Z/nZ)× cyklický, jeho generátory se nazývají primitivní kořeny modulo n. Pro prvočíslo p je grupa (Z/pZ)× vždy cyklická a skládá se z nenulových prvků konečného pole řádu p.
